Sinopsis
En matemática, una involución o función involutiva es una función matemática que es su propia inversa:
Definida la función:
-
f
:A
⟶
A
x
⟼
y
=
f
(
x
){displaystyle {egin{array}{rccl}f:&A&longrightarrow &A&x&longmapsto &y=f(x)end{array}
Esta función cumple la propiedad involutiva si:
-
∀
x
∈
A:
f
(
f
(
x
)
)
=
x{displaystyle forall xin A;:quad f(f(x))=x}
para todo x de A, se cumple que la función de la función de x es x.
O, de otra manera:
-
f
(
x
)
=
y{displaystyle f(x)=y,}
;
-
f
(
y
)
=
x{displaystyle f(y)=x,}
Propiedades
Toda involución es una aplicación biyectiva. La función identidad es un ejemplo trivial de involución:
egin{array}{rccl}
id : & A & longrightarrow & A & a & longmapsto & b = id(a) quad equiv quad b=a
end{array}
esto es:
forall a in A
; : quad
id(id(a)) = a
para todo a de A, se cumple que la identidad de la identidad de a es a.
El número de involuciones existentes en un conjunto de n elementos viene dado por la siguiente relación de recurrencia:
a_0 = a_1 = 1 ,
a_{n} = a_{n-1} + (n – 1), a_{n-2} quad (si quad n > 1)
Los primeros términos de esta secuencia son 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, etc.{{OEIS2
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